Distintos tipos de gráficos. Escalas logarítmicas

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El eje de una gráfica es una aplicación biyectiva que asocia a una posición el valor de una magnitud física. La asociación de la escala implica establecer una aplicación biyectiva tal que, a cada valor de \(L\) (posición física que ocupa un punto en el eje) se le haga corresponder el valor \(M\) de una magnitud física, que es lo que se representa posteriormente en la gráfica.


\begin{eqnarray}
f,L&\rightarrow&M\nonumber\\
x&\rightarrow&f(x)
\end{eqnarray}


Normalmente, se usa un tipo de escala lineal. Esto quiere decir que la función \(f\) de es una recta y por tanto sólo hay que asociarle a una distancia el valor de una magnitud. Por ejemplo, se conviene que \(\unit{1}{\centi\meter}\) en la gráfica corresponden a \(\unit{10}{\kelvin }\) :

\begin{equation}
\Delta L=\unit{1}{\centi\meter}\rightarrow \Delta T=\unit{10}{\kelvin }
\end{equation}

En general en la escala lineal:

\begin{equation}
L=a(M-M_0)
\end{equation}

donde \(M\) es el valor de la magnitud representada, \(M_0\) es el valor de la magnitud en el origen, \(a\) es el factor de escala (que tiene dimensiones de \([L][M^{-1}]\) ) y \(L\) es la distancia (física) al origen.

Sin embargo a veces es conveniente usar un tipo de escala que no varíe linealmente. Lo más común, entre las escalas no lineales son las escalas logarítmicas. Como su propio nombre indica, en este tipo de escalas las función \(f\) no es lineal sino logarítmica. Esto quiere decir un incremento de longitud de la escala no se corresponde con un incremento del valor de la magnitud sino de su logaritmo:

\begin{equation}
\Delta L=a\Delta(\log M)=a\log \frac{M_2}{M_1}
\end{equation}

Para la unidad de longitud se tiene:

\begin{equation}
a=\log \frac{M_2}{M_1}
\end{equation}

es decir:

\begin{equation}
M_2=b^a M_1
\end{equation}

donde \(b\) es la base de los logaritmos. Normalmente se usa base diez de forma que en la escala logarítmica una unidad de longitud significa multiplica por diez a la magnitud. Cuando se observa una escala logarítmica se ve que la distancia entre dos marcas consecutivas varía, ya que no es lineal, pero la multiplicación o división por un factor diez es siempre constante. Es decir: ¡en una escala logarítmica es lo mismo el intervalo \(10-100\) que \(0.001-0.01\) !

Por qué se usan las escalas logarítmicas. Por varias razones: Primero porque la función logaritmo o exponencial aparece mucho en la física (véase por ejemplo la figura 1.1) y este tipo de gráficas tiene más fácil lectura en una escala logarítmica ya que lo que se dibuja realmente es el logaritmo del eje. En la figura 1.2 se representa exactamente lo mismo que en la figura 1.1 salvo que el eje X es ahora logarítmico. Obsérvese que entonces lo que se representa en ese eje es la columna 2 de la tabla 1.3; por eso la etiqueta del eje es presión y no logaritmo de presión. El logaritmo entra en la figura por la forma del eje.

Figura: Se representa en esta figura lo mismo que en la figura 1.1 salvo que se representa la presión en un eje logarítmico en vez de el logaritmo de la presión en un eje lineal. La gráfica se representa ahora con un mallado puesto que la distancia entre las marcas del eje horizontal no son constantes.
\begin{figure}
\centering\setlength{\unitlength}{0.240900pt}
\ifx\plotpo...
...x{\plotpoint}}
\put(1439,234){\usebox{\plotpoint}}
\end{picture}
\end{figure}

Además muchas veces es más importante la variación relativa de una magnitud que la variación absoluta. En una escala lineal la variación absoluta \((M_2-M_1)\) es constante; mientras que en una logarítmica la variación relativa \((M_2/M_1)\) es constante. Conceptos como el doble, el triple, u orden de magnitud1.3 quedan mucho más explícitos en este tipo de escalas.

El uso de otro tipo de escala distinto de la lineal o logarítmica es más difícil de encontrar. Quizá solo sea importante la escala recíproca en la que la aplicación es del tipo \(L=aM^{-1}\) . Esta escala es útil para observar proporcionalidades inversas entre magnitudes.

En las papelerías se puede encontrar papel milimetrado con uno o los dos ejes en escala logarítmica.

Jose Maria Martin Olalla 2007-06-15