Interpolación y extrapolación

Para referirse al ajuste lineal método de los mínimos cuadrados se usa muchas veces expresiones que no son totalmente equivalentes y que pueden dar lugar a equívocos. Una de ellas es la expresión interpolación lineal.

El término interpolación lineal hace referencia al uso que se le da al resultado del ajuste. Hasta ahora se han determinado los valores de $ a$ y de $ b$ así como sus incertidumbre, residuos, correlaciones etcétera. A veces se usa estos datos para obtener el valor esperado de la variable $ y$ cuando se conoce el valor de la variable $ x=\hat{x}$ . Sea:

\begin{equation}
x_{min}=\mathrm{min} \{x_i\} \quad x_{max}=\mathrm{max}\{x_i\}
\end{equation}

siempre que $x_{min}<\hat{x}<x_{max}$ estaremos hablando de una interpolación y el valor esperado $f(\hat{x})$ diferirá del valor verdadero $\hat{y}$ en una cantidad cercana al valor de $\sigma$ . En este sentido se usa el método de los mínimos cuadrados para obtener un valor interpolado de la variable $y$ por un método diferente al del Capítulo 3. Además, como hemos visto la incertidumbre del valor interpolado está controlada por el valor de $\sigma$ .

Si pretendemos conocer el valor de $y$ para un $\hat{x}$ tal que $\hat{x}<x_{min}$ o $\hat{x}>x_{max}$ hablamos de una extrapolaciones. Las extrapolaciones casi nunca son buenas políticas. A veces cuando no se dispone de otra información son imprescindibles pero hay que tener en cuenta que un valor extrapolado es incontrolable y la incertidumbre de $f(\hat{x})$ es ahora desconocida e inabordable.

El ajuste lineal por mínimos cuadrados puede comprobar y obtener información sobre el comportamiento lineal de los puntos experimentales en el rango $x_{min},x_{max}$ . No se obtiene NINGUNA información para valores de $x$ mayores que el máximo o menores que el mínimo.

Entre esta falta de información se incluye a la ordenada en el origen: si los puntos experimentales NO incluyen el origen $y=0$ no puede presuponerse que el valor de la ordenada en el origen represente el comportamiento de los puntos experimentales en $y\rightarrow 0$ .

Sin embargo, a veces el valor de la ordenada en el origen es una información preciosa aunque deba manejarse con el cuidado debido a una extrapolación. Por ejemplo, en el siglo XIX se observó que cuando se mide el volumen ( $=y$ ) en función de la temperatura centígrada ( $=x$ ) de un gas en condiciones de presión constante se observa que los puntos están en línea recta. Si se hace el ajuste:

\begin{equation}
V= b\left(t+\frac{a}{b}\right) \quad y=b (x+a')
\end{equation}

el valor de $a'$ (que representa a la ordenada en el origen) es cercano a $\unit{-273}{\celsius}$ . Pero, por supuesto, es sólo una extrapolación de los datos experimentales hasta el límite $y\rightarrow 0$ es decir volumen cero. Evidentemente nadie puede asegurar que los datos experimentales tiendan linealmente hacia $ a'$ cuando se disminuya indefinidamente el $V$ ... de hecho cuando se realiza la experiencia se observa que la mayoría de las veces que el comportamiento lineal se rompe bruscamente. Esto ocurre cuando el gas condensa y pasa a fase líquida o sólida.

Sólo si las presiones de trabajo son lo suficientemente bajas, parece que los datos experimentales obedecen la ley lineal por mucho que disminuyamos el volumen del gas. Hablamos, claro, de un gas ideal y el valor de $ a'$ representa la estimación primitiva del cero absoluto de la escala centígrada que no era más que la temperatura a la que el volumen de un gas ideal, aparentemente, desaparecía.

Jose Maria Martin Olalla 2007-06-15